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Mathematik 11 · Klausurvorbereitung

Analysis & Kurvendiskussion

Ableitungen, Aufleitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, vollständige Funktionsuntersuchung

Die 7 Schritte der Kurvendiskussion

Bei einer vollständigen Funktionsuntersuchung werden folgende Eigenschaften untersucht:

  • 1

    Definitionsbereich

    Für welche x-Werte ist die Funktion definiert? Bei ganzrationalen Funktionen immer D = ℝ.

  • 2

    Symmetrie

    Achsensymmetrie: f(–x) = f(x) · Punktsymmetrie: f(–x) = –f(x)

  • 3

    Verhalten für x → ±∞

    Höchste Potenz bestimmt das Grenzverhalten. Vorzeichen und Grad beachten.

  • 4

    Achsenschnittpunkte

    y-Achse: f(0) einsetzen. x-Achse (Nullstellen): f(x) = 0 lösen.

  • 5

    Extrempunkte

    f'(x) = 0 (notwendige Bedingung), dann f''-Kriterium oder VZW-Kriterium.

  • 6

    Wendepunkte

    f''(x) = 0 (notwendige Bedingung), dann f'''-Kriterium oder VZW-Kriterium von f''.

  • 7

    Graph

    Alle berechneten Punkte einzeichnen und verbinden.

Durchgerechnetes Beispiel

f(x) = –x³ + 12x² – 21x – 34 = –(x+1)(x²–13x+34)

D = ℝ
f(–x) = x³ + 12x² + 21x – 34 ≠ f(x) → keine Achsensymmetrie –f(–x) = –x³ – 12x² – 21x + 34 ≠ f(x) → keine Punktsymmetrie

Höchste Potenz: –x³

lim(x→+∞) f(x) = –∞ lim(x→–∞) f(x) = +∞
y-Achse
f(0) = –34 → P(0|–34)
Nullstellen
0 = –(x+1)(x²–13x+34) x₁ = –1 → N₁(–1|0) x₂ ≈ 9,37 → N₂(9,37|0) x₃ ≈ 3,63 → N₃(3,63|0)
f'(x) = –3x² + 24x – 21 f''(x) = –6x + 24
f'(x) = 0 → x² – 8x + 7 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 7
f''(1) = 18 > 0 → Tiefpunkt T(1|–34) f''(7) = –18 < 0 → Hochpunkt H(7|64)
f''(x) = –6x + 24 = 0 → x = 4 f'''(x) = –6 ≠ 0 → Wendepunkt bestätigt f'''(4) = –6 < 0 → LR-Wendepunkt f(4) = 10 → W(4|10)

Symmetrie – Kurzregel

Achsensymmetrie (y-Achse)

f(–x) = f(x)
Nur gerade Potenzen → alle Exponenten gerade

Punktsymmetrie (Ursprung)

f(–x) = –f(x)
Nur ungerade Potenzen → alle Exponenten ungerade

Ableitungsregeln

Grundregeln zum Ableiten von Funktionen

Regelf(x)f'(x)
Potenzregelxⁿn · xⁿ⁻¹
Faktorregelc · f(x)c · f'(x)
Summenregelf(x) + g(x)f'(x) + g'(x)
Konstantec0
Lineare Fkt.ax + ba

Ableitungen höherer Ordnung

Man kann eine Funktion mehrfach ableiten — wichtig für Extrem- und Wendepunkte

f(x) = x⁴ – 8x³ + x f'(x) = 4x³ – 24x² + 1 f''(x) = 12x² – 48x f'''(x)= 24x – 48
f(x) = –⅓x³ – x² + 3x f'(x) = –x² – 2x + 3 f''(x) = –2x – 2 f'''(x)= –2
f(x) = 0,25x⁴ – 0,25x f'(x) = x³ – 0,25 f''(x) = 3x² f'''(x) = 6x f⁽⁴⁾(x) = 6
f(x) = 4x⁻¹ f'(x) = –4x⁻² = –4/x² f''(x) = 8x⁻³ = 8/x³
g(x) = ⅕x⁵ – ax⁴ g'(x) = x⁴ – 4ax³ g''(x) = 4x³ – 12ax²

Merke: Die 2. Ableitung f'' wird beim f''-Kriterium für Extrempunkte verwendet. Die 3. Ableitung f''' wird beim f'''-Kriterium für Wendepunkte verwendet.

Was ist eine Aufleitung?

Die Aufleitung (Stammfunktion) ist das Gegenteil der Ableitung

Zu einer Funktion f(x) sucht man eine Funktion F(x), sodass gilt: F'(x) = f(x)

F(x) heißt Stammfunktion von f(x). Man schreibt: F(x) = ∫ f(x) dx

Wichtig: +C — Da beim Ableiten jede Konstante wegfällt, kommt beim Aufleiten immer eine unbekannte Konstante C hinzu.

Aufleitungsregeln

Die Umkehrung der Ableitungsregeln

Regelf(x)F(x) = ∫ f(x) dx
Potenzregelxⁿ (n ≠ –1)xⁿ⁺¹ / (n+1) + C
Faktorregelc · f(x)c · F(x) + C
Summenregelf(x) + g(x)F(x) + G(x) + C
Konstantecc · x + C
Lineare Fkt.ax + b½ax² + bx + C

Potenzregel Aufleitung – Schritt für Schritt

Vorgehen
Schritt 1 — Exponenten um 1 erhöhen
xⁿ → xⁿ⁺¹
Schritt 2 — Durch den neuen Exponenten teilen
xⁿ⁺¹ → xⁿ⁺¹ / (n+1)
Schritt 3 — +C nicht vergessen!
F(x) = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C

Beispiele

F(x) = x⁴/4 + C

Probe: F'(x) = 4 · x³/4 = x³ ✓

F(x) = x³/3 + C

Probe: F'(x) = 3 · x²/3 = x² ✓

F(x) = x⁵ + C

Probe: F'(x) = 5x⁴ ✓

F(x) = x³ – 3x² + 2x + C

Probe: F'(x) = 3x² – 6x + 2 ✓

F(x) = –x⁴/12 – x³/3 + 3x²/2 + C

Probe durch Ableiten von F(x) ergibt f(x) ✓

F(x) = 6x + C

Probe: F'(x) = 6 ✓

Ableitung vs. Aufleitung – Vergleich

f(x)Ableitung f'(x)Aufleitung F(x)
x⁴4x³x⁵/5 + C
x³3x²x⁴/4 + C
x²2xx³/3 + C
x1x²/2 + C
505x + C
3x²6xx³ + C
–2x³–6x²–x⁴/2 + C

Notwendige Bedingung

Wenn bei xE ein lokales Extremum von f liegt, dann gilt: f'(xE) = 0

Umkehrung gilt nicht! → f'(xE) = 0 bedeutet nur potentielles Extremum.

Hinreichende Bedingung – zwei Methoden

Hochpunkt

f'(xE) = 0 und f''(xE) < 0

Tiefpunkt

f'(xE) = 0 und f''(xE) > 0

Sattelpunkt

f'(xE) = 0 und f''(xE) = 0 → VZW-Kriterium nötig!

Teststellen links und rechts von xE in f' einsetzen:

Hochpunkt

f' wechselt von + nach –

Tiefpunkt

f' wechselt von – nach +

Sattelpunkt

f' hat keinen Vorzeichenwechsel

Beispiel Sattelpunkt – f(x) = x³
f'(x) = 3x² = 0 → x = 0 f''(0) = 0 → keine Entscheidung Teststellen: f'(–1) = 3 > 0, f'(1) = 3 > 0 → kein VZW → Sattelpunkt bei (0|0)

Vorgehen Schritt für Schritt

  • 1

    f' und f'' berechnen

  • 2

    Notwendige Bedingung

    f'(x) = 0 lösen → potentielle Extremstellen xE

  • 3

    Hinreichende Bedingung

    f''(xE) einsetzen. Falls = 0: VZW-Kriterium anwenden.

  • 4

    y-Koordinate

    f(xE) einsetzen → Punkt angeben.

Notwendige Bedingung

Wenn bei xW ein Wendepunkt von f liegt, dann gilt: f''(xW) = 0

Links-Rechts-Wendepunkt (LR-W)

f'' wechselt von + nach –. f' hat Maximum bei xW.

Rechts-Links-Wendepunkt (RL-W)

f'' wechselt von – nach +. f' hat Minimum bei xW.

Hinreichende Bedingung – zwei Methoden

LR-Wendepunkt

f''(xW) = 0 und f'''(xW) < 0

RL-Wendepunkt

f''(xW) = 0 und f'''(xW) > 0

LR-Wendepunkt

f'' wechselt von + nach –

RL-Wendepunkt

f'' wechselt von – nach +

Durchgerechnete Beispiele

f''(x) = 3x – 3 = 0 → x = 1 f'''(1) = 3 > 0 → RL-W f(1) = –1 → W(1|–1)
f''(x) = 0,4x² – 1,6 = 0 → x = ±2 f'''(2) = 1,6 > 0 → RL-W → W(2|–8/5) f'''(–2) = –1,6 < 0 → LR-W → W(–2|–8/5)

f und f'' einander zuordnen

  • An einem Wendepunkt von f hat f'' eine Nullstelle.
  • f'' kreuzt x-Achse von + nach – → LR-Wendepunkt bei f.
  • f'' kreuzt x-Achse von – nach + → RL-Wendepunkt bei f.
  • Hochpunkt von f → Nullstelle von f' mit VZW + nach –
  • Tiefpunkt von f → Nullstelle von f' mit VZW – nach +
  • Extremstelle von f' → Wendepunkt von f
f'' > 0

f ist rechtsgekrümmt (konkav nach oben)

f'' < 0

f ist linksgekrümmt (konkav nach unten)

Zuordnungsaufgabe – Lösung

Graphen I, II, III (f) werden A, B, C (f'') zugeordnet

Graph I → f'' = B (Gerade)

Polynom 3. Grades, zunächst linksgekrümmt dann rechtsgekrümmt (LR-W). f'' muss VZW von + nach – haben → Gerade B.

Graph II → f'' = C (Parabel)

Polynom 4. Grades: erst RL-W, dann LR-W. f'' hat VZW – nach + und danach + nach –. Das trifft auf Parabel C zu.

Graph III → f'' = A (neg. Parabel)

Nach unten geöffnete Parabel, überall rechtsgekrümmt → f'' überall negativ → negative Parabel A.

Wie skizziert man f aus f'?

  • 1

    Nullstellen von f' finden

    → Extrempunkte von f. VZW + nach – = Hochpunkt. VZW – nach + = Tiefpunkt.

  • 2

    Extrema von f' finden

    → Wendepunkte von f.

  • 3

    Vorzeichen von f' beachten

    f' > 0 → f steigt. f' < 0 → f fällt.

  • 4

    Unendlich viele Lösungen möglich

    Da beim Ableiten Konstanten wegfallen, kann f beliebig in y-Richtung verschoben sein.

Mini-Quiz

Teste dein Wissen — klicke auf die richtige Antwort.

1. Was ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt?
2. f'(xE) = 0 und f''(xE) > 0 – welcher Punkt liegt vor?
3. Was ist die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt?
4. Wie lautet die Aufleitung von f(x) = x³?
5. Warum kommt beim Aufleiten immer ein +C hinzu?
6. Wie lautet die Aufleitung von f(x) = 6?
7. Was bedeutet f'' > 0 für den Graphen von f?
8. f'''(xW) < 0 und f''(xW) = 0 – welcher Wendepunkt?